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2013年4月19日星期五

蒲丰投针问题

蒲丰投针问题

编辑本段投针问题

1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的 方法――随机投针法,即著名的蒲丰投针问题。

投针步骤

这一方法的步骤是:
1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为d的平行线。
2) 取一根长度为l(l<d) 的针,随机地向画有平行直线的纸上掷n次,观察针与直线相交的次数,记为m
3)计算针与直线相交的概率.
18世纪,法国数学家蒲丰和勒可莱尔提出的"投针问 题",记载于布丰1777年出版的著作中:"在平面上画有一组间距为d的平行线,将一根长度为 l(l<d)的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任一条相交的概率。"布丰本人证明了,这个概率
p=2l/(πd) π为圆周率
利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的 近似值。下面是一些资料
实验者
年代
投掷次数
相交次数
圆周率估计值
1850
5000
2531
3.1596
1855
3204
1219
3.1554
1680
600
383
3.137
1884
1030
489
3.1595
1901
3408
1808
3.1415929
1925
2520
859
3.1795
蒲丰投针实验是第一个用几何形 式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到一定的推动作用。
像投针实验一样,用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量,这样的方法称为蒙特卡 罗方法(Monte Carlo method)。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战 期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理原子能、 固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领 域中得到广泛利用。
法国数学家布丰(1707-1788)最早设计了投针试验。并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计 算公式P=2L/πd(其中L是针的长度,d是平行线间的距离,π是圆周率)。
由于它与π有关,于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
此外,随便说出3个正数,以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关,这个概率为 (π-2)/4,证明如下:
设这三个正数为x,y,z,不妨设x≤y≤z,对于每一个确定的z,则必须满足 x+y>z,x&sup2;+y&sup2;�z&sup2;,容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可 以围成一个钝 角三角形的充要条件,用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x&sup2;+y&sup2;=z& sup2;围成 的弓形,总的可行域为一个边长为z的正方形,则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=(πz&sup2;/4-z& amp; sup2;/2)/z&sup2;=(π-2)/4.因为对于每一个z,这个概率都为(π-2)/4,因此对于任意的正数 x,y,z,有P= (π-2)/4,命题得证。
为了估算π的值,我们需要通过实验来估计它的概率,这一过程可交由计算机编程来实现,事实上 x+y>z,x&sup2;+y&sup2;�z&sup2;等价于(x+y-z) (x&sup2;+y&sup2;-z&sup2;)�0,因此只需检验这一个式子是否成立即可。若进行了m次随机 试验,有n次 满足该式,当m足够大时,n/m趋近于(π-2)/4,令n/m=(π-2)/4,解得π=4n/m+2,即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法:设计一个适当的试验,它的概率与我们感兴趣的一个量(如π)有关,然后利用试 验结果来估计这个量,随着计算机等现代技术的发展,这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。

计算π最稀奇方法之一

计算π的最为稀奇的方法之一,要数18世纪法国的博物学家C・布丰和他的投针实验:在一个平面上,用尺画一 组相距为d的平行线;一根长度小于d的针,扔 到画了线的平面上;如果针与线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则则是不利的.
布丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含π的表示式.如果针的长度等于d,那么有 利扔出的概率为2/π.扔的次数越多,由 此能求出越为精确的π的值.
公元1901年,意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针,给出π的值为3.1415929――准确到小数后 6位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L・巴杰的质疑.通过几何、微积分、 概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!

编辑本段证明

下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间 的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆 圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相 交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原 理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数期望也是一样 的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长 度l成正比,因而有:m=kl,式中k是比例系数。为了求出k来,只 需注意到,对于l=πd的特殊情形,有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有:m≈(2ln)/(πd)从而 π≈(2ln)/(dm)

编辑本段蒙特卡洛方法

在用传统方法难以解决的问题中,有很大一部分可以用概率模型进 行描述.由于这类模型含有不确定的随机因素,分析起来通常比确定性的模型困难.有的模型难以作定量分析,得不到解析的结果,或者是虽有解析结 果,但计算代 价太大以至不能使用.在这种情况下,可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想.
Monte Carlo方法是计算机模拟的基础,它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥蒙特卡 洛, 其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法――随机投针法,即著名的蒲丰投针问题。
Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型, 使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量. 然后通过模拟一统计试验, 即多次随机抽样试验 (确定 m和 n) ,统计出某事件发生的百分比.只要试验次数很大,该百分比便近似于事件发生的概率.这实际上就是概率的统计定义.利用建立的概率模型,求出要估计的参数.蒙 特卡洛方法属于试验数学的一个分支.
MATLAB语言编程实现
l=1;
n=1000;
d=2;
m=0;
for k=l:n
x=unifrnd(0,d/2) ;
p=unifrnd(0,pi) ;
if
) sin(1 5 . 0 y x × × <
m=m+1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行,即得结果.
蒙特卡洛方法适用范围很广 泛,它既能求解确定性的问题,也能求解随机性的问题以及 科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积 分,即产生数值积分问 题.
任意曲边梯形面积的近似计算一个古老的问题:用一堆石头测量一个水塘的面积.应该怎样做呢?测量方法如下: 假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中.如图 8.2 所示.随机地向这块农田扔石头使得 它们都落在农田内.被扔到农田中的石头可能溅上了水,也可能没有溅上水,估计被"溅上水的"石头量占总的石头量的百分比.试想如何利用这估计的百分比去近 似计算该水塘面积?

  蒙特卡洛方法(8.2)

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