蒲丰投针问题
编辑本段投针问题
投针步骤
这一方法的步骤是：
1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。
2） 取一根长度为l（l<d） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m
3）计算针与直线相交的概率．
18世纪，法国数学家蒲丰和勒可莱尔提出的"投针问 题"，记载于布丰1777年出版的著作中："在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为 l（l<d）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。"布丰本人证明了，这个概率是
p=2l/（πd) π为圆周率
| 实验者 | 年代 | 投掷次数 | 相交次数 | 圆周率估计值 |
|---|---|---|---|---|
| 1850 | 5000 | 2531 | 3.1596 | |
| 1855 | 3204 | 1219 | 3.1554 | |
| 1680 | 600 | 383 | 3.137 | |
| 1884 | 1030 | 489 | 3.1595 | |
| 1901 | 3408 | 1808 | 3.1415929 | |
| 1925 | 2520 | 859 | 3.1795 |
蒲丰投针实验是第一个用几何形 式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡 罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战 期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、 固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领 域中得到广泛利用。
法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计 算公式P=2L/πd（其中L是针的长度，d是平行线间的距离，π是圆周率)。
由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关，这个概率为 （π-2）/4，证明如下：
设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足 x+y>z，x²+y²；�z²；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可 以围成一个钝 角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z& sup2；围成 的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz²/4-z& amp; sup2;/2）/z²=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数 x，y，z，有P= （π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上 x+y>z，x²+y²；�z²；等价于（x+y-z） （x²+y²-z²；）�0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。若进行了m次随机 试验，有n次 满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试 验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一
计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C・布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一 组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔 到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．
布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有 利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由 此能求出越为精确的π的值．
公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929――准确到小数后 6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L・巴杰的质疑．通过几何、微积分、 概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！
编辑本段证明
下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间 的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆 圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相 交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原 理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样 的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长 度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。为了求出k来，只 需注意到，对于l=πd的特殊情形，有m=2n。于是求得k=（2n)/（πd）。代入前式就有：m≈（2ln)/（πd）从而 π≈（2ln)/(dm)
编辑本段蒙特卡洛方法
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进 行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结 果，但计算代 价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想．
Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥的蒙特卡 洛， 其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法――随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型， 使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量． 然后通过模拟一统计试验， 即多次随机抽样试验 （确定 m和 n） ，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙 特卡洛方法属于试验数学的一个分支．
MATLAB语言编程实现
l=1;
n=1000;
d=2；
m=0；
for k=l：n
x=unifrnd（0，d/2） ；
p=unifrnd（0，pi） ；
if
） sin（1 5 . 0 y x × × <
m=m+1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行，即得结果．
任意曲边梯形面积的近似计算一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下： 假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图 8．2 所示．随机地向这块农田扔石头使得 它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被"溅上水的"石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近 似计算该水塘面积？
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