蒲丰投针问题
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投针步骤
这一方法的步骤是:
1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为d的平行线。
2) 取一根长度为l(l<d) 的针,随机地向画有平行直线的纸上掷n次,观察针与直线相交的次数,记为m
3)计算针与直线相交的概率.
18世纪,法国数学家蒲丰和勒可莱尔提出的"投针问 题",记载于布丰1777年出版的著作中:"在平面上画有一组间距为d的平行线,将一根长度为 l(l<d)的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任一条相交的概率。"布丰本人证明了,这个概率是
p=2l/(πd) π为圆周率
实验者 | 年代 | 投掷次数 | 相交次数 | 圆周率估计值 |
---|---|---|---|---|
1850 | 5000 | 2531 | 3.1596 | |
1855 | 3204 | 1219 | 3.1554 | |
1680 | 600 | 383 | 3.137 | |
1884 | 1030 | 489 | 3.1595 | |
1901 | 3408 | 1808 | 3.1415929 | |
1925 | 2520 | 859 | 3.1795 |
蒲丰投针实验是第一个用几何形 式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到一定的推动作用。
像投针实验一样,用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量,这样的方法称为蒙特卡 罗方法(Monte Carlo method)。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战 期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、 固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领 域中得到广泛利用。
法国数学家布丰(1707-1788)最早设计了投针试验。并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计 算公式P=2L/πd(其中L是针的长度,d是平行线间的距离,π是圆周率)。
由于它与π有关,于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
此外,随便说出3个正数,以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关,这个概率为 (π-2)/4,证明如下:
设这三个正数为x,y,z,不妨设x≤y≤z,对于每一个确定的z,则必须满足 x+y>z,x²+y²;�z²;,容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可 以围成一个钝 角三角形的充要条件,用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z& sup2;围成 的弓形,总的可行域为一个边长为z的正方形,则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=(πz²/4-z& amp; sup2;/2)/z²=(π-2)/4.因为对于每一个z,这个概率都为(π-2)/4,因此对于任意的正数 x,y,z,有P= (π-2)/4,命题得证。
为了估算π的值,我们需要通过实验来估计它的概率,这一过程可交由计算机编程来实现,事实上 x+y>z,x²+y²;�z²;等价于(x+y-z) (x²+y²-z²;)�0,因此只需检验这一个式子是否成立即可。若进行了m次随机 试验,有n次 满足该式,当m足够大时,n/m趋近于(π-2)/4,令n/m=(π-2)/4,解得π=4n/m+2,即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法:设计一个适当的试验,它的概率与我们感兴趣的一个量(如π)有关,然后利用试 验结果来估计这个量,随着计算机等现代技术的发展,这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一
计算π的最为稀奇的方法之一,要数18世纪法国的博物学家C・布丰和他的投针实验:在一个平面上,用尺画一 组相距为d的平行线;一根长度小于d的针,扔 到画了线的平面上;如果针与线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则则是不利的.
布丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含π的表示式.如果针的长度等于d,那么有 利扔出的概率为2/π.扔的次数越多,由 此能求出越为精确的π的值.
公元1901年,意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针,给出π的值为3.1415929――准确到小数后 6位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L・巴杰的质疑.通过几何、微积分、 概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!
编辑本段证明
下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间 的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆 圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相 交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原 理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数期望也是一样 的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长 度l成正比,因而有:m=kl,式中k是比例系数。为了求出k来,只 需注意到,对于l=πd的特殊情形,有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有:m≈(2ln)/(πd)从而 π≈(2ln)/(dm)
编辑本段蒙特卡洛方法
在用传统方法难以解决的问题中,有很大一部分可以用概率模型进 行描述.由于这类模型含有不确定的随机因素,分析起来通常比确定性的模型困难.有的模型难以作定量分析,得不到解析的结果,或者是虽有解析结 果,但计算代 价太大以至不能使用.在这种情况下,可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想.
Monte Carlo方法是计算机模拟的基础,它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥的蒙特卡 洛, 其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法――随机投针法,即著名的蒲丰投针问题。
Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型, 使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量. 然后通过模拟一统计试验, 即多次随机抽样试验 (确定 m和 n) ,统计出某事件发生的百分比.只要试验次数很大,该百分比便近似于事件发生的概率.这实际上就是概率的统计定义.利用建立的概率模型,求出要估计的参数.蒙 特卡洛方法属于试验数学的一个分支.
MATLAB语言编程实现
l=1;
n=1000;
d=2;
m=0;
for k=l:n
x=unifrnd(0,d/2) ;
p=unifrnd(0,pi) ;
if
) sin(1 5 . 0 y x × × <
m=m+1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行,即得结果.
任意曲边梯形面积的近似计算一个古老的问题:用一堆石头测量一个水塘的面积.应该怎样做呢?测量方法如下: 假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中.如图 8.2 所示.随机地向这块农田扔石头使得 它们都落在农田内.被扔到农田中的石头可能溅上了水,也可能没有溅上水,估计被"溅上水的"石头量占总的石头量的百分比.试想如何利用这估计的百分比去近 似计算该水塘面积?
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